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Quantitative Rectifiability: from Vitushkin's conjecture to Manifold Learning

For compact planar sets, an analogue to the classic travelling salesman problem is: when can all points in a compact set E be traversed by a rectifiable curve? and how long should such a curve be? P. Jones came up with an answer i... ver más

31/12/2025

UPV

165K€

Presupuesto del proyecto: 165K€

Líder del proyecto

UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO/EUSKAL HERRIKO UNI... No se ha especificado una descripción o un objeto social para esta compañía.

Total investigadores 45

Financiación concedida El organismo HORIZON EUROPE notifico la concesión del proyecto el día 2023-04-17

HORIZON-MSCA-2022-PF-01-01: MSCA Postdoctoral Fellowships 2022 ExpectedOutcome:

I+D

Cerrada hace 2 años

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1 Participantes

UPV

165.31K€ | Lider

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Duración del proyecto: 32 meses Fecha Inicio: 2023-04-17
Fecha Fin: 2025-12-31

Líder del proyecto

UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO/EUSKAL HERRIKO UNI... No se ha especificado una descripción o un objeto social para esta compañía.

Total investigadores 45

Presupuesto del proyecto 165K€

Descripción del proyecto For compact planar sets, an analogue to the classic travelling salesman problem is: when can all points in a compact set E be traversed by a rectifiable curve? and how long should such a curve be? P. Jones came up with an answer in his influential Analyst's Travelling Salesman Theorem (ATST). Recent work by the PI and collaborators suggest that fundamental questions at the interface between Geometric Measure Theory (GMT), Harmonic Analysis (HA), PDEs and Machine Learning (ML) have at their core establishing higher dimensional analogues of Jones' ATST. This proposal takes up this challenge by focussing onto three concrete investigations: 1) We aim at solving a long-standing and notoriously difficult conjecture of Vitushkin on the connection between analytic capacity and Favard length. As a result of our strategy, we will prove a quantification of the classical Besicovitch-Federer projections theorem. 2) We study the interplay between the geometry and the differentiability structure a set can support, resulting in a) a geometric characterisation of domains admitting a Sobolev trace theorem, and b) a geometric converse of Rademacher's theorem, which answers a notable open question in the David-Semmes theory of uniform rectifiability. 3) We study the geometry of point clouds by developing a corona-type construction which tests whether the data points lie near a parametrisable surface; this is a way of testing the manifold hypothesis, relied upon by most nonlinear dimensionality reduction algortihms in data analysis. Our framework provide a common language within which we tackle these diverse issues. Hence, achieving our objectives will not only result in major subject-specific breakthroughs, but, just as importantly, will develop and expand this `language', thus providing fertile ground for multidisciplinary interactions to take place.

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