Descripción del proyecto
EXISTEN DOS ENFOQUES FUNDAMENTALMENTE DISTINTOS PARA ANALIZAR LA ESTRUCTURA DE UN GRUPO INFINITO, FINITAMENTE GENERADO.UNA OPCION ES OBSERVAR AL GRUPO DESDE ARRIBA: SENTADO EN UN PUNTO A UNA DISTANCIA INFINITA, EL GRUPO PARECE UN OBJETO CONTINUO Y POR LO TANTO ES SUSCEPTIBLE DE SER ESTUDIADO CON METODOS TOPOLOGICOS Y GEOMETRICOS. ESTA ESTRATEGIA, INICIADA POR GROMOV EN LOS AÑOS 80 CON LA INTRODUCCION DE LOS CONOS ASINTOTICOS, SE HA CONVERTIDO EN UNA HERRAMIENTA FUNDAMENTAL PARA ABORDAR CUESTIONES RELACIONADAS CON LA RIGIDEZ CUASI-ISOMETRICA Y OTROS ASPECTOS DE LA GEOMETRIA DE GRAN ESCALA DE LOS GRUPOS. EN EL MISMO PERIODO DE TIEMPO, IDEAS SIMILARES IMPULSARON LA TEORIA DE RIPS SOBRE LAS ACCIONES DE GRUPOS EN ARBOLES REALES, QUE FINALMENTE CONDUJERON A LOS GRANDES AVANCES DE SELA EN LA COMPRENSION DE LA TEORIA ELEMENTAL DE LOS GRUPOS HIPERBOLICOS, ASI COMO LA ESTRUCTURA DE SUS AUTOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS.OTRA OPCION ES OBSERVAR AL GRUPO DESDE ABAJO: INTENTAR OBTENER INFORMACION SOBRE EL GRUPO A PARTIR DE LAS SOMBRAS QUE PROYECTA EN SUS COCIENTES, PARTICULARMENTE LOS FINITOS. ESTA ES LA MOTIVACION FUNDAMENTAL QUE SE ESCONDE TRAS EL PROBLEMA TERRIBLEMENTE DIFICIL DE LA RIGIDEZ PROFINITA --- SI UN GRUPO ESTA DETERMINADO POR SU COCIENTES FINITOS---, QUE SOLO HA COMENZADO A EXPERIMENTAR ALGUNOS AVANCES RECIENTEMENTE, A PESAR DE HABER SIDO PLANTEADO EN EL TRABAJO DE GROTHENDIECK EN LOS AÑOS 70.NUESTRO PROYECTO USARA AMBAS PERSPECTIVAS PARA ESTUDIAR LOS GRUPOS DE CLASES DE MAPEO DE SUPERFICIES DE TIPO FINITO. ESTA ES UNA DE LAS FAMILIAS DE GRUPOS MAS ESTUDIADOS EN MATEMATICAS DEBIDO A SU ESTRUCTURA INMENSAMENTE RICA Y COMPLICADA, Y TAMBIEN POR SU RELEVANCIA EN NUMEROSAS AREAS DE INVESTIGACION: DESDE LA TOPOLOGIA DE BAJA DIMENSION HASTA LA GEOMETRIA COMPLEJA, Y DESDE LA TEORIA DE GRUPOS HASTA LA TOPOLOGIA ALGEBRAICA. SIN EMBARGO, QUEDAN ABIERTAS MUCHAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES SOBRE ESTOS GRUPOS: ¿ES SU TEORIA ELEMENTAL ESTABLE? ¿SON KAHLER? ¿SON OMNIPOTENTES?COMO PRIMER OBJETIVO, DESARROLLAREMOS UNA VERSION DE LA TEORIA DE RIPS PARA ACCIONES SOBRE ARBOLES REALES DE DIMENSIONES SUPERIORES, ES DECIR, CUBINGS REALES. LOS CONOS ASINTOTICOS DE LOS GRUPOS DE CLASES DE MAPEO (ASI COMO DE LOS RAAG Y LOS GRUPOS VIRTUALMENTE ESPECIALES) SON CUBINGS REALES, LO QUE HACE QUE ESTA TEORIA SEA UN PASO IMPORTANTE PARA ABORDAR EL ESTUDIO DE LA TEORIA DE MODELOS DE ESTOS GRUPOS.EN SEGUNDO LUGAR, PRETENDEMOS AVANZAR HACIA LA DEMOSTRACION DE QUE LOS GRUPOS DE CLASES DE MAPEO NO SON KAHLER. ESTO SE LOGRARA EXPLORANDO LOS TIPOS DE ISOMORFISMO DE LOS SUBGRUPOS NORMALES TANTO DE LOS GRUPOS DE KAHLER COMO DE LOS GRUPOS DE CLASES DE MAPEO.POR ULTIMO, INVESTIGAREMOS LOS COCIENTES DE LOS GRUPOS DE CLASES DE MAPEO Y LOS GRUPOS DE KAHLER, CON ESPECIAL ATENCION A LOS DE TIPO BURNSIDE. ESPERAMOS QUE ESTO ARROJE LUZ SOBRE VARIAS CUESTIONES RELACIONADAS CON LAS PROPIEDADES RESIDUALES DE LOS GRUPOS DE CLASES DE MAPEO, EN PARTICULAR LAS RELACIONADAS CON LA OMNIPOTENCIA Y LA EXISTENCIA DE COCIENTES HIPERBOLICOS NO ELEMENTALES.NUESTRA EXPERIENCIA COMBINADA EN GRUPOS DE CLASES DE MAPEO, CUBINGS REALES, GEOMETRIA DE KAHLER, TEORIA DE MODELOS Y TECNICAS DE CANCELACION PEQUEÑA NOS SITUA EN UNA POSICION PRIVILEGIADA PARA HACER AVANCES CONCRETOS Y SIGNIFICATIVOS EN CADA UNA DE ESTAS DIRECCIONES. GRUPOS MAPPING CLASS\CUBINGS REALES\BURNSIDE\KAHLER\CONO ASINTOTICO\TEORIA DE RIPS